Stetige Funktion/R nach R/Abzählbar viele Werte/Konstant/Aufgabe/Lösung

Wir nehmen an, dass die Funktion nicht konstant ist. Dann gibt es ${}a,b\in \mathbb {R}$ mit

${}f(a)\neq f(b)\,.$

Aufgrund des Zwischenwertsatzes wird jede reelle Zahl aus dem Intervall zwischen ${}f(a)$ und ${}f(b)$

angenommen. Jedes echte reelle Intervall besitzt aber überabzählbar viele Elemente, und so kann das Bild nicht abzählbar sein.

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