Stetige Funktionen/Intervall/C-wertig/Skalarprodukt/Beispiel

Es sei ${}[a,b]$ ein abgeschlossenes reelles Intervall mit ${}a<b$ und sei

${}V={\left\{f:[a,b]\rightarrow {\mathbb {C} }\mid f{\text{ stetig}}\right\}}\,,$

versehen mit der punktweisen Addition und Skalarmultiplikation. Wir setzen

${}\left\langle f,g\right\rangle :=\int _{a}^{b}f(t){\overline {g(t)}}dt\,$

und erhalten damit ein Skalarprodukt auf ${}V$. Die Additivität folgt beispielsweise aus

${}\left\langle f_{1}+f_{2},g\right\rangle =\int _{a}^{b}(f_{1}(t)+f_{2}(t)){\overline {g(t)}}dt=\int _{a}^{b}f_{1}(t){\overline {g(t)}}dt+\int _{a}^{b}f_{2}(t){\overline {g(t)}}dt=\left\langle f_{1},g\right\rangle +\left\langle f_{2},g\right\rangle \,.$

Die positive Definitheit folgt so: Wenn ${}f$ nicht die Nullfunktion ist, so sei ${}s\in [a,b]$ ein Punkt mit ${}f(s)\neq 0$. Dann ist ${}\vert {f(s)}\vert >0$ und wegen der Stetigkeit von ${}f$ gibt es dann auch eine Umgebung ${}[s-\epsilon ,s+\epsilon ]\cap [a,b]$ der Länge ${}\geq \epsilon$, auf der überall

${}\vert {f(t)}\vert \geq c>0\,$

für ein gewisses ${}c\in \mathbb {R} _{+}$ ist (man kann ${}c={\frac {\vert {f(s)}\vert }{2}}$ nehmen). Somit ist

${}\left\langle f,f\right\rangle =\int _{a}^{b}\vert {f(t)}\vert ^{2}dt\geq \int _{\max {\left(a,s-\epsilon \right)}}^{\min {\left(b,s+\epsilon \right)}}\vert {f(t)}\vert ^{2}dt\geq \epsilon c^{2}>0\,$

positiv.