Stetige Funktionsfamilie/Lokal gleichmäßig summierbar/Stetige Summe/Fakt/Beweis

Beweis

Da stetig eine lokale Eigenschaft ist, können wir direkt annehmen, dass die Familie gleichmäßig summierbar ist. Sei ${}P\in T$ fixiert und sei ${}\epsilon >0$ vorgegeben. Es sei ${}E$ endlich mit

${}\Vert {f_{E}-f}\Vert \leq \epsilon /3\,.$

Als endliche Summe von stetigen Funktionen ist ${}f_{E}$ stetig. Es gibt also ein ${}\delta >0$ derart, dass für alle ${}Q\in T$ mit ${}\vert {P-Q}\vert \leq \delta$ die Abschätzung ${}\vert {f_{E}(P)-f_{E}(Q)}\vert \leq \epsilon /3$ gilt. Für diese ${}Q$ ist dann

${}\vert {f(P)-f(Q)}\vert \leq \vert {f_{E}(P)-f(P)}\vert +\vert {f_{E}(P)-f_{E}(Q)}\vert +\vert {f_{E}(Q)-f(Q)}\vert \leq \epsilon \,.$

Zur bewiesenen Aussage