Stetiges Vektorfeld/S^2/Nur eine Nullstelle/Aufgabe/Lösung


Wir betrachten auf dem das stetige Vektorfeld , das durch

gegeben sei. Dieses hat keine Nullstelle und ist stetig. Wir transportieren dieses Vektorfeld mittels der stereographischen Projektion auf und ergänzen es im Nordpol durch den Wert . Wir behaupten, dass dieses Vektorfeld stetig ist. Dazu sei sei eine Folge auf , die gegen konvergiert. Dabei können wir direkt annehmen, dass alle sind. Das Kartenbild dieser Folge ist

und da gegen den Nordpol konvergiert, divergiert bestimmt gegen . Daher konvergiert die Folge

gegen .