Stetigkeit/K/Metrischer Raum/Funktionen und Produktraum/Fakt

Es sei ${}(M,d)$ ein metrischer Raum und seien Funktionen

$f_{i}\colon M\longrightarrow {\mathbb {K} }$

(für $i=1,\ldots ,m$) gegeben mit der zusammengesetzten Abbildung

$f\colon M\longrightarrow {\mathbb {K} }^{m},\,x\longmapsto {\left(f_{1}(x),\ldots ,f_{m}(x)\right)}.$

Dann ist ${}f$ genau dann stetig, wenn alle Komponentenfunktionen ${}f_{i}$ stetig sind.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen