Stetigkeit in einem Punkt/R/Charakterisierung/Fakt

Folgenkriterium für Stetigkeit

Es sei ${}D\subseteq \mathbb {R}$ eine Teilmenge,

$f\colon D\longrightarrow \mathbb {R}$

eine Funktion und ${}x\in D$. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

1. ${}f$ ist stetig im Punkt ${}x$.
2. Für jede konvergente Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in ${}D$ mit ${}\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}=x$ ist auch die Bildfolge ${}{\left(f(x_{n})\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ konvergent mit dem Grenzwert ${}f(x)$.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen