Stochastik Überblick

Univariate Stochastik

Die Stochastik umfasst in der angewandten Mathematik die Gebiete der Wahrscheinlichkeitstheorie und der Statistik. Wie in der Analysis wird zuerst der Fall eindimensionaler Verteilungen und Statistiken behandelt.

Wahrscheinlichkeitsraum

Unter einem Wahrscheinlichkeitsraum $\Omega \$ versteht man eine Menge mit einem Wahrscheinlichkeitsmaß $P\$, dass Teilmengen $A\subset \Omega$ positive reelle Zahlen zwischen $0$ und $1$ zuordnet. Wegen maßtheoretischer Grundlagen ist dies nicht für alle Teilmengen sinnvoll, sondern nur für alle Teilmengen aus einer Sigmaalgebra ${\mathfrak {A}}$. Für endliches oder abzählbares $\Omega \$ treten keine Grundlagenprobleme auf und die Sigmaalgebra kann als Potenzmenge gewählt werden. Ein Wahrscheinlichkeitsmaß ist ein endliches Maß, bei dem der Maßraum bzw. Wahrscheinlichkeitsraum $\Omega \$ das Maß 1 hat.

Überlicherweise wird ein Wahrscheinlichkeitsraum formal mit seinen drei Bestandteilen bezeichnet.

$(\Omega ,{\mathfrak {A}},P)$

Liegt eine empirische Situation vor, in der die Messdaten jedes $\omega \in \Omega$ identifizieren, dann geht die Zufallswelt in die deterministische Welt über. Dies bedeutet aber nicht, dass ein deterministisches System keine Wahlmöglichkeiten hat, wie man sich anhand eines Rads, das auf einer Ebene fährt, überlegen kann. Ein Beispiel für nicht determinierbare Naturphänomene ist der radioaktive Zerfall für ein einzelnes Uranatom, wobei der Zeitpunkt des Zerfalls durch die Zufallstheorie beschrieben wird.

Zufallsvariablen

Eine Zufallsvariable $X\$ ist eine messbare Abbildung eines Wahrscheinlichkeitsraums $\Omega \$ in die reellen Zahlen $\mathbb {R}$. Als Maßraum über den reellen Zahlen wählt man die Borelsche Sigmaalgebra, als die Sigmaalgebra, die alle offen Teilmengen im Sinne der natürlichen Topologie enthält. Die offenen Teilmengen der reellen Zahlen bzw. des Zahlenstrahls werden von den offen Intervallen erzeugt. Dies bedeutet, dass jede offene Teilmenge der reellen Zahlen sich als endliche oder unendliche Vereinigung offener Intervalle ergibt.

Formal schreibt man für obigen Zusammenhang folgende Symbole.

$X:(\Omega ,{\mathfrak {A}})\mapsto (\mathbb {R} ,{\mathfrak {X}})$

Die Zufallvariable $X\$ erzeugt auf den reellen Zahlen ein Bildmaß $P^{X}\$. Schränkt man das lebesguesche Maß auf den reellen Zahlen auf die Mengen aus der Borelschen Sigmaalgebra ${\mathfrak {B}}$ein, so erhält man das entsprechende Borelsche Maß $\beta \$. Dominiert nun dieses Borelsche Maß auf den reellen Zahlen das Bildmaß $P^{X}\$, dann existiert nach dem Satz von Radon Nikodyn eine Wahrscheinlichkeitsdichte $f\$, sodass $P^{X}(A)=\int _{A}f(x)d\beta (x)\$ für alle $A\in {\mathfrak {B}}\$.

Für ein konkret gegebenes $\omega \$ ist $X(\omega )\$ eine reelle Zahl, die man mit einer Beobachtung auf einem Lineal identifizieren kann. Der Sinn von Zufallsvariablen liegt also in der Überführung des bewusst abstrakt gehaltenen Zufallsraums in einen Raum der beobachtbar ist. Gibt es wie in obiger Beschreibung nur ein Bildmaß, so liegt kein statistisches Problem vor, da aus den Grundannahmen der modellierenden Wissenschaft sich eindeutig auf das richtig Bildmaß schließen lässt. Ein Beispiel hierfür ist die Maxwellsche Verteilung in der Thermodynamik.

Statistische Entscheidungssituation

Gebeben sei eine Familie von Wahrscheinlichkeitsräumen $(\Omega ,{\mathfrak {A}},P_{i})_{i\in I}\$. Dabei bedeutet das Weglassen das Indexes bei Omega und der Sigmaalgebra, dass die Familie von Wahrscheinlichkeitsräumen sich nur in den Wahrscheinlichkeitsmaßen unterscheidet und nicht im Grundraum $\Omega \$ oder der Sigmaalgebra ${\mathfrak {A}}\$. Ist nun eine beobachtbare Zufallsvariable $X\$ gegeben, dann entsteht durch Anwendung der Zufallsvariablen auf den Grundraum und die Wahrscheinlichkeitsmaße ein Stichprobenraum $(\mathbb {R} ,{\mathfrak {B}},P_{i}^{X})\$. Das Problem der univariaten Statistik besteht darin aus einer endlichen Stichprobe bzw. endlichen Anzahl an gemessenen Zahlenwerten zu schließen welche i die Stichprobe gut beschreiben und welche schlecht. In der Testtheorie ist die Anzahl der Wahrscheinlichkeitsmaße gleich zwei. Anderes als in der deterministischen Optimierung ergibt sich in der Testtheorie durch Randomisieren ein optimaler Test, der auf der Einführung eines Zufallsexperiments beruht. Ohne dieses Experiment muss man das sogenannte Rucksackproblem der Angewandten Optimierung mit Hilfe der Methode des Branch and Bound lösen.

Erwartungswert und Varianz

Die beiden wichtigsten Kenngrößen der univariaten Stochastik sind der Erwartungswert und die Varianz. Gegeben sei ein Stichprobenraum, also ein Wahrscheinlichkeitsraum mit einer Familie von Wahrscheinlichkeitsmaßen und eine Zufallsgröße $X\$. Der Erwartunswert der Zufallsgröße ist definiert durch die Anwendung des maßtheoretischen Integrals bezüglich eines der Wahrscheinlichkeitsmaße aus der Familie der Wahrscheinlichkeitsmaße. Dieses spezielle Wahrscheinlichkeitsmaß werde mit $P_{i_{0}}\$ bezeichnet, wobei der Index $i_{0}\$ das ausgewählte Wahrscheinlichkeitsmaß identifiziert. Formal lässt sich für den Erwartungswert $E[X]\$ schreiben:

$E[X]=\int _{\Omega }X(\omega )dP_{i_{0}}(\omega )=\int _{\mathbb {R} }xdP_{i_{0}}^{X}(x)\$

Die Varianz ist definiert als der Erwartungswert von $(X(\omega )-E[X(\omega )])^{2}\$, sodass sich formal die folgende Schreibweise ergibt:

$Var(X)=E[(X-E[X])^{2}]\$

$=E[X^{2}-2XE[X]+E[X]^{2}]\$

$=E[X^{2}]-2E[X]E[X]+E[X]^{2}\$

$=E[X^{2}]-E[X]^{2}\$

Familie unabhängiger Zufallsgrößen

Eine Familie von unabhängigen Zufallsgrößen $X_{i}\$ entspricht einer Familie von Wahrscheinlichkeitsmaßen $P_{i}\$ auf einem Wahrscheinlichkeitsraum $(\Omega ,{\mathfrak {A}})\$, sodass dem endlichen oder unendlichen Vektor $(X_{i})_{i\in I}\$ das Produktmaß $P^{({X_{i}})_{i\in I}}=\prod _{i\in I}P_{i}^{X_{i}}\$ zugeordnet wird. Dieses Produktmaß ist wieder ein Wahrscheinlichkeitsmaß, sodass die Zufallsgrößen $X_{i}\$ als Abbildung vom Wahrscheinlichkeitsraum $(\Omega ,{\mathfrak {A}},P)\$ in die reellen Zahlen verstanden werden können und es gilt $P^{X_{i}}=P_{i}^{X_{i}}\$.

Multivariate Stochastik

Die wahrscheinlichkeitstheoretischen Grundlagen der Statistik im mehrdimensionalen, multivariate Statistik genannt, werden dargestellt. Die Fortsetzung dieses Gebietes im wahrscheinlichkeitstheoretischen Sinne sind eindimensionale Stochastische Prozesse als zufällige Phänomene im Laufe der Zeit. Das statistische Analogon ist die Zeitreihenanalyse.

--Thomas-rudolf-korn.net 20:35, 22. Nov. 2007 (CET)