Stochastische Matrix/Verteilungsvektor/Bild ist Verteilungsvektor/Aufgabe/Lösung

Es sei

${}M=(a_{ij})_{1\leq i,j\leq n}\,$

spaltenstochastisch, also ${}a_{ij}\geq 0$ und ${}\sum _{i=1}^{n}a_{ij}=1$ für alle ${}j$ und es sei ${}v={\begin{pmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{n}\end{pmatrix}}$ ein Verteilungsvektor, also ${}v_{j}\geq 0$ und ${}\sum _{j=1}^{n}v_{j}=1$. Wegen der Nichtnegativität aller Einträge hat auch der Bildvektor ${}Mv$ nichtnegative Einträge. Ferner ist

${}\sum _{i=1}^{n}(Mv)_{i}=\sum _{i=1}^{n}{\left(\sum _{j=1}^{n}a_{ij}v_{j}\right)}=\sum _{j=1}^{n}v_{j}{\left(\sum _{i=1}^{n}a_{ij}\right)}=\sum _{j=1}^{n}v_{j}=1\,.$

Zur gelösten Aufgabe