Strahlensatz/Drei Strahlen/Fakt

Dreistrahlensatz

Es sei ${}V$ ein zweidimensionaler euklidischer Vektorraum und es seien ${}s_{1},s_{2},s_{3}\in V$ von ${}0$ verschiedene Vektoren und es sei ${}v\in V$ linear unabhängig zu jedem dieser Vektoren. Es seien ${}S_{i}=\mathbb {R} s_{i}$, ${}i=1,2,3$, die durch die ${}s_{i}$ definierten Geraden (die Strahlen) und es seien ${}P$ und ${}Q$ Punkte in ${}V$ mit den zugehörigen parallelen Geraden ${}G=P+\mathbb {R} v$ und ${}H=Q+\mathbb {R} v$. Die Schnittpunkte der Geraden (die aufgrund der Voraussetzungen eindeutig bestimmt sind) seien

$A_{1}=S_{1}\cap G,\,A_{2}=S_{2}\cap G,\,A_{3}=S_{3}\cap G,\,B_{1}=S_{1}\cap H,\,B_{2}=S_{2}\cap H,\,B_{3}=S_{3}\cap H,$

und es seien ${}B_{1}\neq B_{2}$.

Dann ist

${}{\frac {d(B_{2},B_{3})}{d(A_{2},A_{3})}}={\frac {d(B_{1},B_{2})}{d(A_{1},A_{2})}}\,.$

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen