Strahlensatz/Zwei Strahlen/Fakt/Beweis2

Beweis

Ohne Einschränkung sei ${}s_{1}=A_{1}$, ${}s_{2}=A_{2}$ und ${}v=A_{2}-A_{1}$, da dies die beteiligten Geraden nicht ändert (bei ${}A_{1}=A_{2}$ und allgemeiner wenn ${}A_{1}$ und ${}A_{2}$ linear abhängig sind, ist ${}S_{1}=S_{2}$ und damit ${}B_{1}=B_{2}$ und die Aussage ist richtig). Somit können wir ${}B_{1}=rA_{1}$, ${}B_{2}=sA_{2}$ und ${}B_{2}-B_{1}=t(A_{2}-A_{1})=tv$ mit ${}r,s,t\in \mathbb {R}$ schreiben. Daraus ergibt sich insgesamt die Beziehung

${}sA_{2}-rA_{1}=tA_{2}-tA_{1}\,$

bzw.

${}(s-t)A_{2}+(t-r)A_{1}=0\,.$

Da wir den Fall, dass ${}A_{1}$ und ${}A_{2}$ linear abhängig sind, bereits abgehandelt haben, folgt daraus

${}r=s=t\,.$

Somit ist

${}d(B_{1},B_{2})=d(rA_{1},rA_{2})=\vert {r}\vert \cdot d(A_{1},A_{2})={\frac {\Vert {B_{1}}\Vert }{\Vert {A_{1}}\Vert }}\cdot d(A_{1},A_{2})\,.$

Zur bewiesenen Aussage