Summe von Quadraten/Gaußsche Zahlen/Motivation/Textabschnitt

Betrachten wir die Frage, welche natürlichen Zahlen die Summe von zwei Quadratzahlen sind. Anders formuliert, für welche hat die Gleichung

Lösungen mit ganzen Zahlen ? Es ist

Erkennt man hier schon eine Struktur? Es ist in der Zahlentheorie üblich, solche Fragen erst einmal für Primzahlen zu verstehen, und die Ergebnisse dann auf zusammengesetzte Zahlen zu übertragen. Von den Primzahlen sind keine Summe von zwei Quadraten, während und es sind. Es fällt auf, dass die erste Reihe alle den Rest bei Division durch haben, und die zweite Reihe (von abgesehen) den Rest . Hier zeigt sich, dass es sinnvoll ist, zu anderen, hier endlichen, Ringen überzugehen, um Fragen über natürliche oder ganze Zahlen zu beantworten. Die Restabbildung zur Division mit Rest durch ist ein Ringhomomorphismus

Dabei ist in die Addition und die Multiplikation modulo erklärt, also etwa . Die Abbildung respektiert also die Addition und die Multiplikation. Wenn nun die Gleichung

in eine Lösung besitzt, so liefert das sofort auch eine Lösung modulo , nämlich

bzw.

oder

Nun sind aber in die Quadrate einfach

und

und damit sind und Summen von zwei Quadraten in , aber nicht . Es bestätigt sich also bereits die obige Beobachtung, dass natürliche Zahlen (nicht nur Primzahlen), die den Rest modulo haben, nicht die Summe von zwei Quadraten sein können.

Für Primzahlen mit dem Rest modulo liefert die Betrachtung im Restklassenring natürlich nur, dass eine notwendige Bedingung erfüllt ist, woraus sich natürlich noch lange nicht auf eine Darstellung als Summe von zwei Quadraten schließen lässt. Die Zahl zeigt auch, dass eine Zahl, die modulo den Rest besitzt, nicht notwendig selbst die Summe von zwei Quadraten ist.

Eine wichtige Umformulierung der Frage erhält man, wenn man wie oben zu einer quadratischen Erweiterung übergeht, nämlich zum Ring der Gaußschen Zahlen

(einem Unterring der komplexen Zahlen). Dort können wir

schreiben, wodurch die Frage, ob eine Zahl Summe von zwei Quadraten ist, mit der Frage der multiplikativen Zerlegung von natürlichen Zahlen in diesem neuen Ring in Zusammenhang gebracht wird. Insbesondere ist eine Primzahl, die Summe von zwei Quadraten ist, im Ring der Gaußschen Zahlen nicht mehr prim (die hingeschriebenen Faktoren können keine Einheiten sein).

Die Frage nach den Summen von zwei Quadraten werden wir abschliesend in Fakt beantworten.