Summe von ungeraden Zahlen/Induktion/Aufgabe/Lösung

Eine ungerade Zahl hat die Form ${}2k-1$, die Summe der ersten ${}n$ ungeraden Zahlen ist also gleich

$\sum _{k=1}^{n}(2k-1).$

Wir behaupten, dass dies gleich ${}n^{2}$ ist. Für ${}n=1$ ist die Aussage richtig, da die Summe gleich ${}1=1^{2}$ ist. Es sei die Aussage nun für ein ${}n$ schon bewiesen. Dann ist

${}\sum _{k=1}^{n+1}(2k-1)=\sum _{k=1}^{n}(2k-1)+2n+1=n^{2}+2n+1=(n+1)^{2}\,.$

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