Summe von zwei Quadraten/Daraus Wurzel aus -1/Bemerkung

Wenn für eine Primzahl ${}p$ eine Darstellung

${}p=x^{2}+y^{2}=(x+{\mathrm {i} }y)(x-{\mathrm {i} }y)\,$

als Summe von zwei Quadraten bekannt ist, so kann man daraus einfach eine Quadratwurzel der ${}-1$ in ${}\mathbb {Z} /(p)$ finden. In diesem Fall gibt es einen surjektiven Ringhomomorphismus

$\varphi \colon \mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]\longrightarrow \mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]/(x+{\mathrm {i} }y)\cong \mathbb {Z} /(p).$

Die Isomorphie rechts rührt dabei von

$\mathbb {Z} \longrightarrow \mathbb {Z} /(p)\longrightarrow \mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]/(x+{\mathrm {i} }y)$

her, wobei die Surjektivität darauf beruht, dass ${}\mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]/(x+{\mathrm {i} }y)$ ein Körper ist und es in ${}\mathbb {Z} /(p)$ schon zwei Quadratwurzeln der ${}-1$ gibt. Die Eigenschaft

${}{\mathrm {i} }^{2}=-1\,$

überträgt sich auf das Bild, und dort gilt

${}\varphi ({\mathrm {i} })=-x\cdot y^{-1}\,.$