Symmetrische Bilinearform/Nicht ausgeartet/Gramsche Matrix/Invertierbar/Aufgabe/Lösung

Es sei ${}G$ die Gramsche Matrix der Bilinearform zu einer fixierten Basis. Wenn ${}G$ nicht invertierbar ist, so gibt es einen Vektor ${}v\neq 0$ mit ${}Gv=0$. Dann ist auch

${}\left\langle u,v\right\rangle ={u^{\text{tr}}}Gv=0\,$

für alle ${}u\in V$ und die Form ist ausgeartet. Wenn umgekehrt die Bilinearform ausgeartet ist, so gibt es einen Vektor ${}v\neq 0$ mit

${}\left\langle u,v\right\rangle ={u^{\text{tr}}}Gv=0\,$

für alle ${}u\in V$.

Doch daraus folgt wiederum, dass ${}Gv$ der Nullvektor ist, also die Gramsche Matrix nicht invertierbar ist.

Zur gelösten Aufgabe