Symmetrische Funktionen/3/R/Regulärer Punkt/Nicht kleine Diagonale/Aufgabe/Lösung

Die Jacobi-Matrix von ${}F$ ist

${\begin{pmatrix}1&1&1\\y+z&x+z&x+y\\yz&xz&xy\end{pmatrix}}.$

Ein Punkt ${}P$ ist genau dann ein regulärer Punkt, wenn der Rang dieser Matrix ${}3$ ist, wenn die Matrix also invertierbar ist.

Wenn ${}x=y$ ist, so stimmen die erste und die zweite Spalte überein; wenn ${}x=z$ ist, so stimmen die erste und die dritte Spalte überein; wenn ${}y=z$ ist, so stimmen die zweite und die dritte Spalte überein. Daher liegt bei Punkten, bei denen zwei Koordinaten übereinstimmen, eine lineare Abhängigkeit zwischen den Spalten vor und der Rang der Matrix ist nicht ${}3$. Solche Punkte sind also nicht regulär.

Zum Beweis der Umkehrung berechnen wir die Determinante der Matrix. Diese ist (Entwicklung nach der ersten Zeile)

${}{\begin{aligned}(x+z)xy-xz(x+y)-(y+z)xy+yz(x+y)+(y+z)xz-yz(x+z)&=x^{2}y-x^{2}z-xy^{2}+y^{2}z+xz^{2}-yz^{2}\\&=x^{2}(y-z)+x(z^{2}-y^{2})+yz(y-z)\\&=x^{2}(y-z)+x(z-y)(z+y)+yz(y-z)\\&=(y-z)(x^{2}-x(z+y)+yz)\\&=(y-z)(x-y)(x-z).\,\end{aligned}}$

Wenn die Koordinaten paarweise verschieden sind, so ist die Determinante nicht ${}0$ und die Matrix ist invertierbar, also sind diese Punkte regulär

(mit diesem Argument beweist man gleichzeitig auch die Hinrichtung).

Zur gelösten Aufgabe