Symplektische Matrix/Symplektische Gruppe/Körper/Definition

Symplektische Gruppe

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}I_{m}={\begin{pmatrix}0&-E_{m}\\E_{m}&0\end{pmatrix}}\in \operatorname {GL} _{2m}\!{\left(K\right)}$, wobei ${}E_{m}$ die Einheitsmatrix der Länge ${}m$ ist. Eine Matrix ${}S\in \operatorname {GL} _{2m}\!{\left(K\right)}$ mit

${}{S^{\text{tr}}}I_{m}S=I_{m}\,$

heißt symplektische Matrix. Die Menge aller symplektischen Matrizen heißt symplektische Gruppe, sie wird mit

${}\operatorname {Sp} _{2m}\!\,{\left(K\right)}={\left\{S\in \operatorname {GL} _{2m}\!{\left(K\right)}\mid {S^{\text{tr}}}I_{m}S=I_{m}\right\}}\,$

bezeichnet.