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Taylor-Formel/Quadratische Approximation und Hesse-Form/Aufgabe/Lösung
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<
Taylor-Formel/Quadratische Approximation und Hesse-Form/Aufgabe
Es ist einerseits
∑
r
∈
N
n
,
|
r
|
=
2
1
r
!
D
r
f
(
P
)
⋅
v
r
=
∑
r
=
(
0
,
…
,
0
,
1
,
0
,
…
,
0
,
1
,
0
,
…
,
0
)
1
r
!
D
r
f
(
P
)
⋅
v
r
+
∑
r
=
(
0
,
…
,
0
,
2
,
0
,
…
,
0
)
1
r
!
D
r
f
(
P
)
⋅
v
r
=
∑
1
≤
i
<
j
≤
n
D
i
D
j
f
(
P
)
⋅
v
i
v
j
+
1
2
∑
1
≤
i
≤
n
D
i
D
i
f
(
P
)
⋅
v
i
2
.
{\displaystyle {}{\begin{aligned}\sum _{r\in \mathbb {N} ^{n},\,\vert {\,r\,}\vert =2}{\frac {1}{r!}}D^{r}f(P)\cdot v^{r}&=\sum _{r=(0,\ldots ,0,1,0,\ldots ,0,1,0,\ldots ,0)}{\frac {1}{r!}}D^{r}f(P)\cdot v^{r}+\sum _{r=(0,\ldots ,0,2,0,\ldots ,0)}{\frac {1}{r!}}D^{r}f(P)\cdot v^{r}\\&=\sum _{1\leq i<j\leq n}D_{i}D_{j}f(P)\cdot v_{i}v_{j}+{\frac {1}{2}}\sum _{1\leq i\leq n}D_{i}D_{i}f(P)\cdot v_{i}^{2}.\end{aligned}}}
Andererseits ist
Hess
P
f
(
v
,
v
)
=
(
v
1
,
…
,
v
n
)
(
(
D
i
D
j
f
(
P
)
)
i
,
j
)
(
v
1
⋮
v
n
)
=
(
v
1
,
…
,
v
n
)
(
∑
j
=
1
n
D
1
D
j
f
(
P
)
v
j
∑
j
=
1
n
D
2
D
j
f
(
P
)
v
j
⋮
∑
j
=
1
n
D
n
D
j
f
(
P
)
v
j
)
=
∑
i
=
1
n
(
∑
j
=
1
n
D
i
D
j
f
(
P
)
v
j
)
v
i
=
∑
(
i
,
j
)
D
i
D
j
f
(
P
)
v
i
v
j
=
∑
(
i
,
j
)
,
i
≠
j
D
i
D
j
f
(
P
)
v
i
v
j
+
∑
(
i
,
i
)
D
i
D
i
f
(
P
)
v
i
v
i
=
∑
(
i
,
j
)
,
i
<
j
2
D
i
D
j
f
(
P
)
v
i
v
j
+
∑
i
=
1
n
D
i
D
i
f
(
P
)
v
i
2
.
{\displaystyle {}{\begin{aligned}\operatorname {Hess} _{P}\,f(v,v)&=\left(v_{1},\,\ldots ,\,v_{n}\right){\left({\left(D_{i}D_{j}f(P)\right)}_{i,j}\right)}{\begin{pmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{n}\end{pmatrix}}\\&=\left(v_{1},\,\ldots ,\,v_{n}\right){\begin{pmatrix}\sum _{j=1}^{n}D_{1}D_{j}f(P)v_{j}\\\sum _{j=1}^{n}D_{2}D_{j}f(P)v_{j}\\\vdots \\\sum _{j=1}^{n}D_{n}D_{j}f(P)v_{j}\end{pmatrix}}\\&=\sum _{i=1}^{n}{\left(\sum _{j=1}^{n}D_{i}D_{j}f(P)v_{j}\right)}v_{i}\\&=\sum _{(i,j)}D_{i}D_{j}f(P)v_{i}v_{j}\\&=\sum _{(i,j),\,i\neq j}D_{i}D_{j}f(P)v_{i}v_{j}+\sum _{(i,i)}D_{i}D_{i}f(P)v_{i}v_{i}\\&=\sum _{(i,j),\,i<j}2D_{i}D_{j}f(P)v_{i}v_{j}+\sum _{i=1}^{n}D_{i}D_{i}f(P)v_{i}^{2}.\end{aligned}}}
Mit Hinzunahme des Faktors
1
2
{\displaystyle {}{\frac {1}{2}}}
stimmen die beiden Ausdrücke überein.
Zur gelösten Aufgabe