Taylor-Formel/Restglied O-Notation/Aufgabe

Es sei ${}G\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen, ${}0\in G$ und

$R\colon G\longrightarrow \mathbb {R}$

eine Funktion. Sei ${}k\in \mathbb {N}$. Zeige, falls für eine Konstante ${}c>0$ und alle ${}v$ in einer offenen Umgebung von ${}0$ die Abschätzung ${}\Vert {R(v)}\Vert \leq c\Vert {v}\Vert ^{k+1}$ gilt, dass dann ${}\operatorname {lim} _{v\rightarrow 0}\,{\tfrac {\Vert {R(v)}\Vert }{\Vert {v}\Vert ^{k}}}=0$ folgt.

Zeige umgekehrt durch ein Beispiel, dass aus ${}\operatorname {lim} _{v\rightarrow 0}\,{\tfrac {\Vert {R(v)}\Vert }{\Vert {v}\Vert ^{k}}}=0$ im Allgemeinen nicht die Abschätzung ${}\Vert {R(v)}\Vert \leq c\Vert {v}\Vert ^{k+1}$

folgt.

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