Taylorreihe/R/Einsetzen/Bestimmung/Bemerkung

Es seien

$f\colon I\longrightarrow J$

und

$g\colon J\longrightarrow \mathbb {R}$

Funktionen, für die die Taylor-Polynome in den Entwicklungspunkten ${}a\in I$ und ${}b:=f(a)\in J$ bis zum Grad ${}n$ bekannt seien (insbesondere seien also diese Funktionen bis zur Ordnung ${}n$ differenzierbar). Dann ist die hintereinandergeschaltete Funktion

$g\circ f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

bis zur Ordnung ${}n$ differenzierbar. Das zugehörige Taylor-Polynom lässt sich direkt berechnen: Es sei dazu ${}S=\sum _{i=0}^{n}c_{i}(x-a)^{i}$ das Taylor-Polynom zu ${}f$ und ${}T=\sum _{j=0}^{n}d_{j}(y-b)^{j}$ das Taylor-Polynom zu ${}g$. Dann stimmt das Taylor-Polynom von ${}g\circ f$ bis zum Grad ${}n$ mit dem Polynom ${}T\circ S$ bis zum Grad ${}n$ überein (das Polynom ${}T\circ S$ hat im Allgemeinen einen Grad ${}>n$. Man denke an ${}f(x)=x^{2}$ und ${}g(y)=y^{2}$ und $n=2$). D.h. man muss in ${}T$ überall ${}y$ durch ${}S$ ersetzen, durch Umsortieren ein Polynom in ${}x-a$ erhalten und davon die Monome vom Grad ${}\geq n+1$ weglassen (diese Monome muss man also nicht ausrechnen).