Teilbarkeit in N +/Ordnungsrelation/Variante 2/Beispiel

Wir betrachten die positiven natürlichen Zahlen ${}\mathbb {N} _{+}$ zusammen mit der Teilbarkeitsbeziehung. Dies ergibt eine Ordnung auf ${}\mathbb {N} _{+}$. Die Teilbarkeitsrelation ist in der Tat reflexiv, da stets ${}n{|}n$ ist, wie ${}m=1$ zeigt. Die Transitivität wurde in Fakt  (3) gezeigt. Die Antisymmetrie folgt so: Aus ${}n=ak$ und ${}k=bn$ folgt ${}n=(ab)n$. Da wir uns auf positive natürliche Zahlen beschränken, folgt mit der Kürzungsregel ${}ab=1$ und daraus wegen ${}a,b\leq ab$ auch ${}a=b=1$. Also ist ${}k=n$. Einfache Beispiele wie $2$ und $3$ zeigen, dass hier keine totale Ordnung vorliegt, da weder ${}2$ von ${}3$ noch umgekehrt geteilt wird.