Teilbarkeitstheorie/Gemeinsame Teiler/Idealcharakterisierung/Fakt

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring, ${}a_{1},\ldots ,a_{k}\in R$ und ${}{\mathfrak {a}}=(a_{1},\ldots ,a_{k})$ das davon erzeugte Ideal. Ein Element ${}t\in R$ ist ein gemeinsamer Teiler von ${}a_{1},\ldots ,a_{k}\in R$ genau dann, wenn ${}{\mathfrak {a}}\subseteq (t)$ ist, und ${}t$ ist ein größter gemeinsamer Teiler genau dann, wenn für jedes ${}s\in R$ mit ${}{\mathfrak {a}}\subseteq (s)$ folgt, dass ${}(t)\subseteq (s)$ ist. Ein größter gemeinsamer Teiler erzeugt also ein minimales Hauptoberideal von ${}{\mathfrak {a}}$.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen