Teilbarkeitstheorie/Hauptidealbereich/Kleinstes Gemeinsames Vielfaches/Idealcharakterisierung/Fakt

Es sei ${}R$ ein Hauptidealbereich, ${}a_{i}\in R,i\in I$, eine Familie von Elementen und ${}{\mathfrak {a}}=\bigcap _{i\in I}(a_{i})$ der Schnitt der davon erzeugten Hauptideale. Ein Element ${}a\in R$ ist genau dann ein kleinstes gemeinsames Vielfaches von ${}a_{i},i\in I$, wenn ${}(a)={\mathfrak {a}}$, wenn ${}a$ also ${}{\mathfrak {a}}$ als Hauptideal erzeugt.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen