Teilbarkeitstheorie/Kleinstes Gemeinsames Vielfaches/Idealcharakterisierung/Fakt

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring, ${}a_{1},\ldots ,a_{k}\in R$ und ${}{\mathfrak {b}}=(a_{1})\cap \ldots \cap (a_{k})$ der Durchschnitt der zugehörigen Hauptideale. Ein Element ${}r\in R$ ist ein gemeinsames Vielfaches von ${}a_{1},\ldots ,a_{k}\in R$ genau dann, wenn ${}(r)\subseteq {\mathfrak {b}}$ ist, und ${}r$ ist ein kleinstes gemeinsames Vielfaches genau dann, wenn für jedes ${}s\in R$ mit ${}(s)\subseteq {\mathfrak {b}}$ folgt, dass ${}(s)\subseteq (r)$ ist. Ein kleinstes gemeinsames Vielfaches erzeugt also ein maximales Hauptdeal innerhalb von ${}{\mathfrak {b}}$.

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