Teilbarkeitstheorie (N)/Gemeinsamer Teiler/Ordnungstheoretisch/Beispiel

Zu natürlichen Zahlen ${}a_{1},\ldots ,a_{k}$ bildet die Menge ${}G$ aller gemeinsamer Teiler der ${}a_{i}$ eine endliche Menge, die bezüglich der Teilbarbeit geordnet ist. Dabei ist der größte gemeinsame Teiler in ${}G$ in der Tat das größte Element und ${}1$ ist der kleinste gemeinsame Teiler. Es ist keineswegs selbstverständlich, dass es einen größten gemeinsamen Teiler gibt, das hängt mit der eindeutigen Primfaktorzerlegung zusammen und folgt beispielsweise aus Fakt. Unter der Ordnungsrelation ${}\geq$ gibt es in ${}G$ natürlich ein größtes Element, es ist aber eine zahlentheoretische Besonderheit, dass dieses Element von allen anderen gemeinsamen Teilern geteilt wird.

Die Menge ${}V$ der gemeinsamen Vielfachen von ${}a_{1},\ldots ,a_{k}$ ist unendlich und ist ebenfalls über die Teilbarkeit geordnet. Das kleinste gemeinsame Vielfache ist darunter das kleinste Element, und zwar bezüglich der Teilbarkeitsrelation als auch bezüglich der Größergleichrelation.