Aus
folgt sofort
für jedes
,
was gerade bedeutet, dass
diese Zahlen teilt, also ein gemeinsamer Teiler ist. Es sei umgekehrt
ein gemeinsamer Teiler. Dann ist
und da
die kleinste Untergruppe ist, die alle
enthält, muss
gelten.
Aufgrund von
Fakt
wissen wir, dass es eine ganze Zahl
gibt mit
.
Für einen anderen gemeinsamen Teiler
der
gilt
,
sodass
von allen anderen gemeinsamen Teilern geteilt wird, also ein größter gemeinsamer Teiler ist.