Es sei
ein
Körper.
Wir betrachten zu zwei endlichen Indexmengen
und
die Abbildungsräume
und
,
die beide
-Vektorräume
sind. In welcher Beziehung stehen sie zur Abbildungsmenge
-
Zu Abbildungen
und
kann man einfach eine Abbildung auf
erhalten, die man
nennt
(sprich
tensor
)
und die durch
-
![{\displaystyle {}(f\otimes g)(i,j):=f(i)\cdot g(j)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b43c88e0a1b20241eae6c3110dd7992a020910e)
festgelegt ist. Für die Standardvektoren gilt dabei
-
![{\displaystyle {}e_{i}\otimes e_{j}=e_{(i,j)}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c67520bf6142a3b742fc3c349b4d807204d9e23)
Jedes Element
kann man insbesondere als eine Linearkombination zu Elementen
schreiben, aber nicht jedes
hat diese einfache Gestalt. Es gilt
-
![{\displaystyle {}(a_{1}f_{1}+a_{2}f_{2})\otimes g=a_{1}(f_{1}\otimes g)+a_{2}(f_{2}\otimes g)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0076b488b9b0462011dbe1b53b4cf677d1a2fe63)
und entsprechend in der zweiten Komponente.