Tensorprodukt/Funktorialität/Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}Z$ ein Vektorraum über ${}K$. Wir betrachten die Zuordnung ${}V\mapsto V\otimes _{K}Z$, die einem Vektorraum ${}V$ das Tensorprodukt ${}V\otimes _{K}Z$ und einer ${}K$-linearen Abbildung

$\varphi \colon V\longrightarrow W$

die Tensorierung ${}\varphi \otimes \operatorname {Id} _{Z}$ zuordnet. Zeige die folgenden Aussagen.

1. Zur Identität

   $\operatorname {Id} _{V}\colon V\longrightarrow V$

   ist auch

   ${}\operatorname {Id} _{V}\otimes \operatorname {Id} _{Z}=\operatorname {Id} _{V\otimes Z}\,$

   die Identität.

2. Zu linearen Abbildungen

   $U{\stackrel {\varphi }{\longrightarrow }}V{\stackrel {\psi }{\longrightarrow }}W$

   ist

   ${}(\psi \circ \varphi )\otimes \operatorname {Id} _{Z}={\left(\varphi \otimes \operatorname {Id} _{Z}\right)}\circ {\left(\psi \otimes \operatorname {Id} _{Z}\right)}\,.$

3. Zu einem Isomorphismus

   $\varphi \colon V\longrightarrow W$

   ist auch ${}\varphi \otimes \operatorname {Id} _{Z}$ ein Isomorphismus, und für die Umkehrabbildung gilt

   ${}{\left(\varphi \otimes \operatorname {Id} _{Z}\right)}^{-1}=\varphi ^{-1}\otimes \operatorname {Id} _{Z}\,.$

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