Tensorprodukt/Kern der Multiplikation/Standarderzeuger/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei ${}\sum _{i}f_{i}\otimes g_{i}\in \Delta$ , also ${}\sum _{i}f_{i}g_{i}=0$ in ${}R$ . Dann ist

{}{\begin{aligned}\sum _{i}f_{i}\otimes g_{i}&=\sum _{i}f_{i}\otimes g_{i}-{\left(\sum _{i}f_{i}g_{i}\right)}\otimes 1\\&=\sum _{i}f_{i}\otimes g_{i}-\sum _{i}f_{i}g_{i}\otimes 1\\&=\sum _{i}{\left(f_{i}\otimes g_{i}-f_{i}g_{i}\otimes 1\right)}\\&=\sum _{i}f_{i}{\left(1\otimes g_{i}-g_{i}\otimes 1\right)}.\end{aligned}}