Terme/Natürliche Zahlen/Variablen/Textabschnitt

Unter einem (arithmetischen) „Term“ versteht man einen „zahlähnlichen“ Ausdruck, der sich aus „Zahlen“ und „Variablen“ mit Hilfe der Verknüpfungssymbole ${}+$ und ${}\cdot$ (eventuell mit ${}-$ und ${}:$ oder daraus abgeleiteten Operationen wie Potenzen), mit weiteren Funktionssysmbolen (wie die Fakultät, Wurzel, abstrakte Funktionssymbole wie ${}f$) und mit Klammern „korrekt“ bilden lässt. Eine Variable ist typischerweise ein Buchstabe ${}x,y,z,a,b,c$, in den man eine echte Zahl (zumeist aus einem fixierten Zahlenbereich) oder auch einen anderen Term einsetzen kann. Mit zahlenähnlich ist gemeint, dass wirklich eine Zahl entsteht, wenn man alle Variablen durch Zahlen ersetzt. Terme sind auch die Ausdrücke, die auf einer Seite einer Gleichung (oder Ungleichung) stehen können. Beispielsweise sind

$3\cdot (4+5),\,x,\,2x+7,\,{\frac {3}{7}},\,4x^{3}-y,\,(a+b)^{2},\,a^{2}+2ab+b^{2},\,0\cdot 1,\,n!,\,{\binom {n}{k}},\,\pi ,\,e^{u},x^{y},\,5^{x},\,{\sqrt {x}},\,\sum _{i=1}^{n}a_{i},\,f(x)$

Terme. Dagegen sind

$3\cdot (4+5)),\,2x+7=0,\,{\sqrt {\,\,\,}}$

keine Terme.

Wichtig ist, dass man Terme nur dann als gleich ansieht, wenn es sich um dieselbe Zeichenreihe handelt. Das „Ausrechnen“ oder „Vereinfachen“ von Termen verändert den Term, aber nicht die dadurch gegebene Zahl. Beispielsweise sind ${}3+5$ und ${}8$ oder ${}(a+b)^{2}$ und ${}a^{2}+2ab+b^{2}$ verschiedene Terme. Gleichheit zwischen diesen beiden letzten Ausdrücken gilt nur bei einer bestimmten Interpretation, wenn man ${}a$ und ${}b$ als natürliche Zahlen oder als Elemente eines kommutativen Halbringes interpretiert (erste binomische Formel).

Eine wichtige Funktion von Termen ist ihr Auftreten in Gleichungen. Gleichungen sich durch das Vorkommen des Gleichheitszeichens „${}\!=$“ charakterisiert, wodurch eine Gleichung in zwei Hälften unterteilt wird, in diesen Hälften stehen Terme. Gleichungen sind Aussagen, die prinzipiell wahr oder falsch sein können. Gleichungen und Terme treten in der Mathematik in unterschiedlicher Bedeutung auf, die sich häufig vom Kontext her erkennen lassen. Wir listen die wesentlichen Gleichungstypen auf.

1) Identitäten von Elementen

Das sind Gleichungen der Form ${}2+4=6$ oder ${}3\cdot 7=21$ oder ${}4!=24$, die besagen, das zwei irgendwie gegebene Elemente einer Menge gleich sind. ${}2+4$ und ${}6$ sind unterschiedliche Terme, haben aber denselben Zahlwert. In solchen Gleichungen kommen keine Variablen vor. Häufig werden solche Gleichungen verwendet, um etwas auszurechnen, also einen komplizierten Ausdruck in eine einfache Standardform zu bringen. Dazu gehören die Rechnungen in ${}\mathbb {N}$, etwa im Dezimalsystem.

2) Allgemeine Termidentitäten (Formeln, Rechengesetze)

Diese drücken eine allgemeine Gleichung zwischen Termen aus, in denen Variabeln vorkommen, und die Gleichheit bedeutet, dass für jede sinnvolle Ersetzung der Variablen durch Zahlen (die gewisse Bedingungen erfüllen) Gleichheit gilt. Beispiele dazu sind

${}a(b+c)=ab+ac\,$

oder

${}(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}\,$

oder

${}a^{2}+b^{2}=c^{2}\,.$

Sie drücken eine Gesetzmäßigkeit aus, die unter bestimmten Bedingungen gilt, beispielsweise wenn ${}a,b$ Elemente eines kommutativen Halbringes sind oder wenn ${}a,b$ Kathetenlängen und ${}c$ die Hypotenusenlänge eines rechtwinkligen Dreiecks ist. Charakteristisch für solche Gleichungen ist, dass in ihnen Variablen vorkommen und dass, wenn man für die Variablen simultan (also an jeder Stelle, wo die Variable steht) Elemente, die die Bedingung erfüllen, einsetzt, eine wahre Elementgleichung entsteht. Eine solche Identität repräsentiert also eine Vielzahl an einzelnen Elementgleichungen. Aus dem Distributivgesetz entsteht beispielsweise durch Einsetzen die spezielle Identität ${}3\cdot (5+4)=3\cdot 5+3\cdot 4$.

3) Definitionsgleichungen

Das sind Gleichungen, durch die eine abkürzende Schreibweise für einen komplexeren Ausdruck eingeführt wird. Beispiele sind

$a^{3}=a\cdot a\cdot a,\,n!=n(n-1)\cdots 3\cdot 2\cdot 1,\,{\binom {n}{k}}={\frac {n!}{(n-k)!k!}},\,P=4x^{2}+7x-5.$

Hierbei schreibt man häufig ${}:=$ (gelesen: ist definitionsgemäß gleich) statt ${}=$, wobei der Doppelpunkt auf der Seite des einzuführenden Ausdrucks steht.

4) Gleichungen als Bedingung

Damit sind Gleichungen wie

$7-2+5=x,\,7=N(x),\,x+3=5,\,4x=9,\,2x+7=0,\,5x^{2}-3x+4=0,\,x=y,\,y=f(x),\,x^{2}+y^{2}=1$

gemeint. In diesen kommen (in aller Regel) Variablen vor, es wird aber nicht eine allgemeingültige Formel zum Ausdruck gebracht, sondern es wird eine Bedingung an die auftretenden Variablen formuliert. D.h. es werden die Elemente gesucht, die die Gleichungen erfüllen, die man also für die Variablen einsetzen kann, damit eine wahre Elementidentität entsteht. Gleichungen in diesem Sinne definieren die Aufgabenstellung, nach Lösungen zu suchen. Eine Lösung ist ein Element ${}a$ aus der gegebenen Grundmenge ${}M$ (bzw. ein Tupel wie ${}(a,b)\in M\times M$, falls es mehrere Variablen gibt), das die Eigenschaft besitzt, dass wenn man ${}x$ durch ${}a$ ersetzt, eine wahre Elementidentität entsteht. Die Lösungsmenge (oder Erfüllungsmenge) besteht aus allen Lösungen, sie kann leer sein, aus einem Element oder aus vielen Elementen bestehen. Bei Gleichungen wie ${}7-2+5=x$, was manchmal auch als ${}7-2+5=?$ formuliert wird, ist das Lösen einer Gleichung einfach das Ausrechnen der einen Seite.

5) Funktionale Gleichungen

Eine Gleichung der Form ${}y=f(x)$ nennt man auch Funktionsgleichung. Dabei steht ${}f(x)$ für einen komplexen Term, in dem die Variable ${}x$ vorkommt (funktionaler Ausdruck). Man kann sie als eine Definitionsgleichung auffassen, insofern ${}y$ eine abkürzende Schreibweise für den komplexen Term ist, aber auch als Bedingungsgleichung, insofern nach den Paaren ${}(x,y)$ gesucht wird, die diese Gleichung erfüllen. Bei dieser Interpretation ist die Lösungsmenge einfach der Graph der Funktion ${}f$. Eine solche Funktionsgleichung hat aber auch noch den zusätzlichen Aspekt, dass sie eine Größenbeziehung bzw. eine Größenberechnung beschreibt. Aus der variablen Größe ${}x$ wird gemäß der Funktionsvorschrift ${}f(x)$ die variable Größe ${}y$ berechnet. Zwischen physikalischen oder sonstigen Größen kann beispielsweise ein linearer (proportionaler) Zusammenhang bestehen, wie wenn eine Meterangabe in Zentimeter umgerechnet werden soll oder eine Währung in eine andere Währung konvertiert werden soll. Wenn man für ${}x$ oder für ${}y$ gewisse Elemente vorgibt, so erhält man Bedingungsgleichungen in einer (nämlich der nicht fixierten) Variablen. Wenn man für ${}x$ ein bestimmtes Element ${}a$ vorgibt, so ist die Bestimmung des zugehörigen ${}y$ einfach das Ausrechnen von ${}f(a)$. Wenn hingegen für ${}y$ ein bestimmtes Element ${}b$ vorgegeben wird, so ist die Suche nach allen ${}x$ mit der Eigenschaft ${}b=f(x)$ oft schwierig.

Manche Gleichungen wie die zuletzt genannten Funktionsgleichungen kann man in mehrfacher Weise auffassen. So kann man die Gleichung

${}a^{2}+b^{2}=c^{2}\,$

als Gesetzmäßigkeit in einem rechtwinkligen Dreieck auffassen (bei richtiger Interpretation der einzelnen Variablen) oder als Aufgabenstellung, alle Tripel ${}(a,b,c)$ zu bestimmen, die diese Gleichung erfüllen.

Da Gleichungen prinzipiell Aussagen sind, kann man auch die aussagenlogischen Operationen auf sie anwenden. Man kann eine Gleichung negieren, was zu einer Ungleichung (im Sinne von ${}\neq$, nicht im Sinne von ${}\leq$) führt. Eine quadratische Gleichung wie ${}x^{2}-10x+21=0$ führt typischerweise zu einer Lösungsbeschreibung wie ${}x=3$ oder ${}x=7$, also zu einer Alternation von Gleichungen (die Durchnummerierung ${}x_{1},x_{2}$ ist nur dann nötig, wenn man das „oder“ weglässt und wenn man eine Auflistung der Lösungen haben möchte). Die Konjunktion von Gleichungen führt zu einem Gleichungssystem, beispielsweise einem linearen Gleichungssystem, bei dem man nach den Zahltupeln sucht, die sämtliche beteiligten Gleichungen simultan erfüllen.