Wir zeigen zunächst, dass ein Ideal vorliegt. 0{\displaystyle {}0} gehört offenbar zum Radikal und mit f∈rad(a){\displaystyle {}f\in \operatorname {rad} \,({\mathfrak {a}})}, sagen wir fr∈a{\displaystyle {}f^{r}\in {\mathfrak {a}}}, ist auch (af)r=arfr∈a{\displaystyle {}(af)^{r}=a^{r}f^{r}\in {\mathfrak {a}}}, also gehört af{\displaystyle {}af} zum Radikal. Zur Summeneigenschaft seien f,g∈rada{\displaystyle {}f,g\in \operatorname {rad} \,{\mathfrak {a}}} mit fr∈a{\displaystyle {}f^{r}\in {\mathfrak {a}}} und gs∈a{\displaystyle {}g^{s}\in {\mathfrak {a}}}. Dann ist
Es sei nun fk∈rad(a){\displaystyle {}f^{k}\in \operatorname {rad} \,({\mathfrak {a}})}. Dann ist (fk)r=fkr∈a{\displaystyle {}(f^{k})^{r}=f^{kr}\in {\mathfrak {a}}}, also f∈rad(a){\displaystyle {}f\in \operatorname {rad} \,({\mathfrak {a}})}.