Topologie/Überlagerungen/Abbildungen der universellen Überlagerung/Reell projektiver Raum/Beispiel

Es sei ${}p\colon S^{n}\to \mathbb {RP} ^{n}$ die kanonische Überlagerung und ${}n\geq 2$. Dann ist ${}S^{n}$ einfach-zusammenhängend nach diesem Beispiel. Da ${}\mathbb {RP} ^{n}$ semi-lokal einfach-zusammenhängend und zusammenhängend ist, ist die Decktransformationengruppe von ${}p\colon S^{n}\to \mathbb {RP} ^{n}$ isomorph zur Fundamentalgruppe von ${}\mathbb {RP} ^{n}$. Man sieht relativ leicht, dass es genau zwei Decktransformationen gibt: die Identität und die Abbildung ${}x\mapsto -x$. Also ist die Fundamentalgruppe von ${}\mathbb {RP} ^{n}$ die Gruppe mit zwei Elementen.