Es sei eine Elementar-Überdeckung für , mit topologischen Äquivalenzen
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und analog
eine Elementar-Überdeckung für , mit topologischen Äquivalenzen
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Dann ist
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eine Elementar-Überdeckung für
, denn die Abbildungen
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sind nach wie vor topologische Äquivalenzen. Also ist eine Überlagerung.
Es sei nun . Die offene Überdeckung
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ist eine Elementar-Überdeckung. Denn es ist
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Die Einschränkungen von und auf definieren eine
topologische Äquivalenz
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wobei die durch symbolisierte topologische Äquivalenz leicht einzusehen ist. Es folgt, dass eine Überlagerung ist.