Topologie/Überlagerungen/Disjunkte Vereinigung/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei eine Elementar-Überdeckung für , mit topologischen Äquivalenzen

und analog

eine Elementar-Überdeckung für , mit topologischen Äquivalenzen

Dann ist
eine Elementar-Überdeckung für , denn die Abbildungen

sind nach wie vor topologische Äquivalenzen. Also ist eine Überlagerung.

Es sei nun . Die offene Überdeckung

ist eine Elementar-Überdeckung. Denn es ist

Die Einschränkungen von und auf definieren eine topologische Äquivalenz

wobei die durch symbolisierte topologische Äquivalenz leicht einzusehen ist. Es folgt, dass eine Überlagerung ist.