Topologie/Überlagerungen/Faser/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei zunächst ${}p\colon E\rightarrow X$ eine beliebige Überlagerung und ${}U_{i}$, ${}i\in I$, eine Überdeckung von ${}X$, über der die Überlagerung trivialisiert. Für ${}x,y\in U_{i}$ ist

${}p^{-1}(x)\cong F_{i}\cong p^{-1}(y)\,.$

Es sei nun ${}X$ zusammenhängend, ${}x\in X$ fixiert und

${}T:={\left\{y\in X\mid p^{-1}(y)\cong p^{-1}(x)\right\}}\neq \emptyset \,.$

Dann ist ${}T$ offen, denn es enthält zu jedem seiner Punkte noch eine offene Umgebung, über der ${}p$ trivialisiert. Aus dem gleichen Grund ist aber auch ${}X\setminus T$ offen. Da ${}X$ zusammenhängend ist, gilt ${}T=X$.

Zur bewiesenen Aussage