Topologie/Überlagerungen/Offenheit/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei ${}U\subseteq E$ offen. Um zu zeigen, dass ${}p(U)\subseteq X$ offen ist, sei ${}x\in U$. Gesucht ist eine offene Menge ${}W\subseteq X$ mit ${}p(x)\in W\subseteq p(U)$. Es sei hierzu ${}V\subseteq X$ eine offene Menge aus einer Elementar-Überdeckung von ${}X$, sowie ${}\phi \colon p^{-1}(V)\to V\times p^{-1}(p(x))$ eine topologische Äquivalenz. Dann ist ${}x\in U\cap \phi ^{-1}(V\times \{x\})$ offen in ${}\phi ^{-1}(V)$. Weil

${}p\vert _{\phi ^{-1}(V\times \{x\})}\colon \phi ^{-1}(V\times \{x\})\to V\,$

eine topologische Äquivalenz ist, ist auch ${}W:=p(U\cap \phi ^{-1}(V\times \{x\}))$ offen in ${}V$. Nun ist ${}V\subseteq X$ offen, also ist ${}W$ auch offen in ${}X$. Aus ${}x\in W\subseteq p(U)$ folgt die Behauptung.

Zur bewiesenen Aussage