Topologie/Überlagerungen/Operation auf der Faser/Fakt

Es sei ${}X$ ein weg-zusammenhängender topologischer Raum, ${}x_{0}\in X$ und ${}G:=\pi _{1}(X,x_{0})$ die Fundamentalgruppe von ${}X$. Es sei weiter ${}p\colon E\to X$ eine Überlagerung. Es gilt:

1. Die Abbildung ${}p^{-1}(x_{0})\times G\to p^{-1}(x_{0})$ ist eine rechte ${}G$-Operation.
2. Die Menge der Bahnen ${}p^{-1}(x_{0})/G$ ist isomorph zu ${}\pi _{0}E$.
3. Für jedes ${}y\in p^{-1}(x_{0})$ stimmt die Standgruppe ${}G_{y}:=\{[u]\in G\colon y\cdot [u]=y\}$ überein mit dem Bild ${}p_{\ast }(\pi _{1}(E,y))\subseteq \pi _{1}(X,x_{0})$.
4. Ist ${}f\colon E_{1}\to E_{2}$ eine Abbildung von Überlagerungen von ${}X$, so ist die Einschränkung

   ${}f\vert _{p_{1}^{-1}(x_{0})}\colon p_{1}^{-1}(x_{0})\to p_{2}^{-1}(x_{0})\,$

   eine Abbildung von rechten ${}G$-Mengen.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen