Topologie/Überlagerungen/Semi-lokal einfach-zusammenhängend/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei ${}E\to X$ eine universelle Überlagerung, wobei ${}X$ lokal wegzusammenhängend ist. Ist ${}x\in X$, dann gibt es nach Voraussetzung eine offene Menge ${}x\in U\subseteq X$ und eine topologische Äquivalenz ${}\phi \colon p^{-1}(U)\to U\times F$ über ${}U$, wobei ${}F$ ein diskreter topologischer Raum ist. Ohne Einschränkung der Allgemeinheit kann ${}U$ als wegzusammenhängend vorausgesetzt werden. Es sei nun ${}V$ eine Wegzusammenhangskomponente von ${}p^{-1}(U)$, dann ist die Einschränkung ${}q\colon V\to U$ von ${}p$ eine topologische Äquivalenz. Es sei ${}y\in p^{-1}(x)\cap V$, dann ist die durch die Inklusion induzierte Abbildung ${}\pi _{1}(U,x)\to \pi _{1}(X,x)$ trivial. Denn diese stimmt überein mit der Komposition

${}\pi _{1}(U,x){\xrightarrow {q_{\ast }^{-1}}}\pi _{1}(V,y){\xrightarrow {\mathrm {inc} }}\pi _{1}(E,y){\xrightarrow {p_{\ast }}}\pi _{1}(X,x)\,$

und die Fundamentalgruppe ${}\pi _{1}(E,y)$ ist ja trivial.

Zur bewiesenen Aussage