Topologie/Grundbegriffe/Ankleben einer abgeschlossenen Einbettung/Fakt/Beweis

Beweis

Es ist hilfreich, die Äquivalenzrelation einmal explizit hinzuschreiben. Es gilt: ein Paar ${}(c,d)\in (B\coprod X)\times (B\coprod X)$ ist genau dann in der Äquivalenzrelation enthalten, wenn

1. ${}c=d$, oder
2. ${}\exists a\in A:c=i(a),d=f(a)$, oder
3. ${}\exists a\in A:d=i(a),c=f(a)$, oder
4. ${}\exists a,b\in A:c=i(a),d=i(b),f(a)=f(b)$

gilt. Man sieht dann sofort die Injektivität der beiden Abbildungen, und auch die letzte Aussage. (Die Abbildung ${}B\rightarrow X\cup _{A}B$ muss nicht injektiv sein.) Ist ${}C\subseteq X$ irgendeine Teilmenge, so ist

${}q^{-1}{\bigl (}i^{\prime }(C){\bigr )}=C\coprod i{\bigl (}f^{-1}(C){\bigr )}\,.$

Insbesondere ist ${}C$ in ${}X$ abgeschlossen genau dann, wenn ${}i^{\prime }(C)$ in ${}X\cup _{A}B$ abgeschlossen ist, also ist ${}i^{\prime }$ eine abgeschlossene Einbettung. Ist ${}U\subseteq B\smallsetminus i(A)$ irgendeine Teilmenge, so ist

${}q^{-1}{\bigl (}h(U){\bigr )}=U\,.$

Somit ist ${}U$ offen in ${}B\smallsetminus i(A)$ genau dann, wenn ${}h(U)$ offen ist in ${}X\cup _{A}B$, also ist ${}h$ eine offene Einbettung.

Zur bewiesenen Aussage