Topologie/Grundbegriffe/Lokaler Wegzusammenhang/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei ${}W_{x}$ die Weg-Zusammenhangskomponente von ${}x\in X$. Nach Voraussetzung an ${}X$ existiert eine weg-zusammenhängende Umgebung ${}x\in V\subseteq X$. Insbesondere ist ${}V\subseteq W_{x}$. Somit ist ${}W_{x}\subseteq X$ offen nach Fakt. Dies zeigt die erste Behauptung. Als Menge ist ${}X$ sicherlich die disjunkte Vereinigung seiner Weg-Zusammenhangskomponenten. Um dies auch für den topologischen Raum zu erhalten, ist zu zeigen, dass jede Weg-Zusammenhangskomponente auch abgeschlossen ist. Nun ist das Komplement einer Weg-Zusammenhangskomponente die Vereinigung aller anderen Weg-Zusammenhangskomponenten, die nach der ersten Behauptung offen ist. Also ist jede Weg-Zusammenhangskomponente auch abgeschlossen, was die zweite Behauptung beweist. Die dritte Behauptung folgt sofort.

Zur bewiesenen Aussage