Topologie/Grundbegriffe/Quotiententopologie/Beispiel
Es sei das Einheitsintervall (versehen mit der üblichen Topologie) und
![{\displaystyle {}I=[0,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6e907ddfe40276b89fefc275def3fc51455de60)
die von erzeugte Äquivalenzrelation. Die Quotientenmenge hat also genau zwei Elemente: Die Äquivalenzklasse , und die Äquivalenzklasse . Die Quotiententopologie besteht also aus den Mengen . Die Menge ist offen, weil das Urbild offen ist in . Der topologische Raum sieht also genau so aus wie der Sierpinski-Raum von Beispiel. Wie wir später sehen werden, ist die Topologie des Quotientenraumes nicht von einer Metrik induziert, obwohl ein metrischer Raum ist. Der Quotientenraum eines metrischen Raumes ist also nicht notwendigerweise ein metrischer Raum. Dies ist ein wesentlicher Vorteil topologischer Räume.
![{\displaystyle {}[0]=[0,1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce4dc6baabdce16e1b9559c489c3cf11f6ae7bf3)
![{\displaystyle {}[1]=\{1\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a30a22da2485c02b620fd847b50374d88f20f42)
![{\displaystyle {}{\bigl \lbrace }\emptyset ,\{[0]\},I/R{\bigr \rbrace }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4335f8387901cc9c8f9d3bb6d83e33e0d8378224)
![{\displaystyle {}\{[0]\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b59adf16058e62d635a593fff6b88b2bf00bfb7)
![{\displaystyle {}q_{R}^{-1}{\bigl (}[0]{\bigr )}=[0,1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d917deac6d70b36072f75088cd3fa96b297bdf2)
