Topologie/Grundbegriffe/Quotiententopologie/Fakt/Beweis

Beweis

Eine Implikation folgt sofort, da die Komposition stetiger Abbildungen wieder stetig ist nach Fakt. Es sei also ${}f\circ q_{R}$ stetig. Es ist zu zeigen, dass ${}f$ stetig ist. Es sei also ${}U\in \theta$. Nach Definition der Quotiententopologie ist ${}f^{-1}(U)\in \tau _{R}$ genau dann, wenn ${}q_{R}^{-1}{\bigl (}f^{-1}(U){\bigr )}\in \tau$. Letzteres gilt nach Voraussetzung.

Zur bewiesenen Aussage