Es sei U ∈ θ {\displaystyle {}U\in \theta } . Es ist zu zeigen, dass ( g ∘ f ) − 1 ( U ) ∈ τ {\displaystyle {}(g\circ f)^{-1}(U)\in \tau } . Nun ist aber
und g − 1 ( U ) ∈ ω {\displaystyle {}g^{-1}(U)\in \omega } , weil g {\displaystyle {}g} stetig ist. Also ist f − 1 ( g − 1 ( U ) ) ∈ τ {\displaystyle {}f^{-1}{\bigl (}g^{-1}(U){\bigr )}\in \tau } , weil f {\displaystyle {}f} stetig ist.
Da i d − 1 ( U ) = U ∀ U ⊆ X {\displaystyle {}\mathrm {id} ^{-1}(U)=U\,\forall \,U\subseteq X} folgt die Aussage über die Identität.
