Topologie/Grundbegriffe/Topologie/Definition

Topologie

Es sei ${}X$ eine Menge. Eine Familie ${}{\mathcal {T}}$ von Teilmengen von ${}X$ heißt Topologie auf ${}X$, wenn die folgenden Axiome erfüllt sind:

1. Es ist ${}\emptyset \in {\mathcal {T}}$ und ${}X\in {\mathcal {T}}$.
2. Sind ${}U\in {\mathcal {T}}$ und ${}V\in {\mathcal {T}}$, so ist auch ${}U\cap V\in {\mathcal {T}}$.
3. Ist ${}I$ eine Indexmenge und ${}U_{i}\in {\mathcal {T}}$ für alle ${}i\in I$, so ist auch ${}\bigcup _{i\in I}U_{i}\in {\mathcal {T}}$.

Ein topologischer Raum ist ein Paar ${}(X,{\mathcal {T}})$, wobei ${}X$ eine Menge und ${}{\mathcal {T}}$ eine Topologie auf ${}X$ ist.