Es sei zunächst U ∈ τ {\displaystyle {}U\in \tau } und x ∈ U {\displaystyle {}x\in U} . Dann ist U {\displaystyle {}U} selbst eine Umgebung von x {\displaystyle {}x} . Ist nun V x ⊆ U {\displaystyle {}V_{x}\subseteq U} eine Umgebung von x {\displaystyle {}x} , so gibt es nach Definition eine Menge W x ∈ τ {\displaystyle {}W_{x}\in \tau } mit x ∈ W x ⊆ V x {\displaystyle {}x\in W_{x}\subseteq V_{x}} . Dann ist U = ⋃ x ∈ U W x ∈ τ {\displaystyle {}U=\bigcup _{x\in U}W_{x}\in \tau } nach Axiom 3.
