Topologie/Stetige Abbildungen/Peano-Kurve/Beispiel

Als Peano-Kurve bezeichnet man stetige surjektive Abbildungen ${}I\to I^{2}$ eines bestimmten Typs. Die erste Konstruktion stammt von Giuseppe Peano, und sie wurde damals als etwas Beunruhigendes empfunden. Zunächst sei angemerkt, dass eine stetige surjektive Abbildung $f\colon I\to I^{2}$ wiederum stetige und surjektive Abbildungen $f\times \operatorname {id} _{I^{n-1}}\colon I^{n}\to I^{n+1}$ liefert, und durch Verkettung erhält man eine stetige Surjektion $I\to I^{n}$ für jedes $n\in \mathbb {N}$ . Des weiteren erlaubt eine stetige surjektive Abbildung ${}I\to I^{n}$ die Definition einer stetigen surjektiven Abbildung ${}\mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{n}$ , indem man ${}\mathbb {R} ^{n}$ auf geeignete Weise durch abzählbar viele Würfel ${}I^{n}$ überdeckt.

Zur Konstruktion einer Peano-Kurve gebe ich einige Bilder an, die andeuten, wie der Grenzwert einer geeigneten Folge stetiger (sogar stückweise linearer) Abbildungen ${}I\to I^{2}$ eine stetige surjektive Abbildung ${}I\to I^{2}$ liefert. Man beginnt mit der Unterteilung eines Quadrats in neun gleich große Quadrate, die in einer S-Kurve durchlaufen werden. Im nächsten Schritt wird jedes dieser Quadrate wieder unterteilt und die entstehenden Quadrate in S-Kurven durchlaufen, die als neue Kurve zusammengehängt werden:

Skaliert man die Kurven auf dieselbe Größe, erhält man folgendes Bild:

Nun werde ich eine präzise Definition einer surjektiven stetigen Abbildung ${}I\to I^{2}$ mit Hilfe der Cantor-Menge geben. Die informelle Beschreibung der Cantor-Menge lautet so:

Man beginnt mit dem abgeschlossenen Intervall $[0,1]$ der reellen Zahlen von 0 bis 1. Aus diesem Intervall wird das offene mittlere Drittel entfernt, also alle Zahlen, die strikt zwischen 1/3 und 2/3 liegen. Übrig bleiben die beiden Intervalle $[0,{\tfrac {1}{3}}]$ und $[{\tfrac {2}{3}},1]$ . Aus diesen beiden Intervallen wird wiederum jeweils das offene mittlere Drittel entfernt und man erhält nun vier Intervalle: $[0,{\tfrac {1}{9}}]$ , $[{\tfrac {2}{9}},{\tfrac {1}{3}}]$ , $[{\tfrac {2}{3}},{\tfrac {7}{9}}]$ und $[{\tfrac {8}{9}},1]$ . Von diesen Intervallen werden wiederum die offenen mittleren Drittel entfernt. Dieser Schritt wird unendlich oft wiederholt. Die Cantor-Menge besteht nun aus allen Punkten, die jedes Entfernen überlebt haben. Das Bildchen dazu sieht so aus:

Man kann die Cantor-Menge auch als die Menge aller reellen Zahlen $x\in I=[0,1]$ beschreiben, die eine Darstellung ${}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{3^{n}}}$ als Kommazahl zur Basis 3 besitzen, in der nur die Ziffern 0 und 2 vorkommen. Insbesondere enthält die Cantor-Menge mehr als nur die Randpunkte der entfernten Intervalle; diese Randpunkte sind genau die Zahlen in $[0,1]$ , welche sich mit einer 0-Periode oder mit einer 2-Periode schreiben lassen, zum Beispiel

1/3=2\cdot 3^{-2}+2\cdot 3^{-3}+2\cdot 3^{-4}+\cdots =0{,}0{\overline {2}}_{3}=0{,}1_{3}

Auch 1/4 liegt in der Cantor-Menge, denn

1/4=2\cdot 3^{-2}+2\cdot 3^{-4}+2\cdot 3^{-6}+\cdots =0{,}{\overline {02}}_{3}

Tatsächlich ist die triadische Darstellung einer Zahl in der Cantor-Menge eindeutig, wenn man fordert, dass die 1 nicht als Ziffer auftaucht.

Bezeichne nun ${}C$ die Cantor-Menge, dann gibt es eine surjektive stetige Abbildung ${}g\colon C\to I$ . Sie ist definiert als

{}g{\Bigl (}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{3^{n}}}{\Bigr )}\colon =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\frac {a_{n}}{2}}{2^{n}}}\,\,

In Worten: ${}g$ halbiert die Ziffern einer triadischen Darstellung und nimmt sie als Ziffern einer duadischen oder binären Darstellung. Da jede reelle Zahl eine duadische Darstellung besitzt, ist ${}g$ surjektiv. Es sei nun ${}\epsilon >0$ und ${}n\in \mathbb {NN}$ mit ${}{\frac {1}{2^{n}}}<\epsilon$ , dann ist f\"ur zwei Punkte ${}x,y\in C$ mit ${}\vert x-y\vert <{\frac {1}{3^{n}}}$ schon

{}\vert g(x)-g(y)\vert \leq \sum _{i={n+1}}^{\infty }{\frac {1}{2^{i}}}={\frac {1}{2^{n}}}<\epsilon \,\,

Denn die triadischen Darstellungen von ${}x,y$ unterscheiden sich nicht vor der ${}n+1$ -ten Stelle. Also ist ${}g$ stetig.

Des weiteren gibt es eine surjektive Abbildung ${}h\colon C\to C\times C$ , die durch

{}h{\Bigl (}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{3^{n}}}{\Bigr )}\colon ={\Bigl (}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{2n}}{3^{n}}},\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{2n+1}}{3^{n}}}{\Bigr )}\,\,

definiert ist -- also ein mathematisches Modell des Reißverschlusses. Die Stetigkeit von ${}h$ sieht man leicht ein. Somit gibt es eine stetige surjektive Abbildung ${}(g\times g)\circ h\colon C\to I\times I$ . Diese läßt sich erweitern zu einer stetigen (und erst recht surjektiven) Abbildung ${}f\colon I\to I\times I$ , etwa indem in den entfernten Intervallen linear fortgesetzt wird.

Siehe auch