Topologische Grundbegriffe/Zusammenstellung für Mannigfaltigkeiten/Textabschnitt

Definition

Zwei topologische Räume ${}X$ und ${}Y$ heißen homöomorph, wenn es eine bijektive stetige Abbildung

$\varphi \colon X\longrightarrow Y$

gibt, deren Umkehrabbildung ${}\varphi ^{-1}$ ebenfalls stetig ist.

Definition

Es sei ${}(X,{\mathcal {T}})$ ein topologischer Raum. Ein System ${}{\mathcal {C}}$ von offenen Mengen in ${}X$ heißt Basis der Topologie, wenn man jede offene Menge in ${}{\mathcal {T}}$ als Vereinigung von offenen Mengen aus ${}{\mathcal {C}}$ erhalten kann.

Definition

Es sei ${}(X,{\mathcal {T}})$ ein topologischer Raum. Man sagt, dass ${}X$ eine abzählbare Basis besitzt, wenn es eine Basis der Topologie gibt, die nur aus abzählbar vielen offenen Mengen besteht.

Im ${}\mathbb {R} ^{n}$ gibt es überabzählbar viele offene Mengen, es gibt aber eine abzählbare Basis, nämlich alle offenen Bälle ${}U{\left(P,r\right)}$, deren Mittelpunktskoordinaten und deren Radien rationale Zahlen sind.

Eine Zylinderoberfläche ist der Produktraum aus einer Kreislinie und einem Intervall.

Definition

Unter dem Produkt der topologischen Räume ${}X$ und ${}Y$ versteht man die Produktmenge ${}X\times Y$ zusammen mit derjenigen Topologie (genannt Produkttopologie), bei der eine Teilmenge ${}W\subseteq X\times Y$ genau dann offen ist, wenn man sie als Vereinigung von Produktmengen der Form ${}U\times V$ mit offenen Mengen ${}U\subseteq X$ und ${}V\subseteq Y$ schreiben kann.