Topologische Mannigfaltigkeit/Rekonstruktion aus Karten/Aufgabe

Es sei ${}M$ eine topologische Mannigfaltigkeit und

$\alpha _{i}\colon U_{i}\longrightarrow V_{i}$

eine Familie von Karten mit den Übergangsabbildungen

$\varphi _{ij}=\alpha _{j}\circ (\alpha _{i})^{-1}\colon V_{i}\cap \alpha _{i}(U_{i}\cap U_{j})\longrightarrow V_{j}\cap \alpha _{j}(U_{i}\cap U_{j}).$

Zeige, dass man aus der Familie der ${}V_{i}$, ${}i\in I$, den Teilmengen ${}V_{ij}\subseteq V_{i}$ und den Übergangsabbildungen

$\varphi _{ij}\colon V_{ij}\longrightarrow V_{ji}$

die Mannigfaltigkeit ${}M$ rekonstruieren kann.

a) Betrachte auf

${}N:=\biguplus _{i\in I}V_{i}\,$

die Äquivalenzrelation, unter der zwei Punkte ${}P\in V_{i}$ und ${}Q\in V_{j}$ gleich sind, wenn sie unter ${}\varphi _{ij}$ ineinander abgebildet werden.

b) Versehe die Quotientenmenge ${}N/\sim$ mit einer geeigneten Topologie.

c) Definiere auf ${}N/\sim$ Karten.

d) Zeige, dass ${}M$ und ${}N/\sim$ homöomorph

sind.

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