Topologische Räume/Lokal konstante Funktionen/Kohomologie/Produktstruktur/Textabschnitt

Zu ${}X=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ und ${}Y=\bigcup _{j\in J}V_{j}$ bilden die ${}U_{i}\times V_{j}$ eine offene Überdeckung von ${}X\times Y$ .

Für die Garbe der lokal konstanten Funktionen mit Werten in ${}{\mathbb {K} }$ ist unter gewissen Raumbedingungen

{}\Gamma (U\times V,{\mathbb {K} })=\Gamma (U,{\mathbb {K} })\otimes \Gamma (V,{\mathbb {K} })\,,

da die (endlich vielen) Zusammenhangskomponenten des Produktes die Produkte der Zusammenhangskomponenten sind.

Kokettenkomplexe ${}(D,d)$ und ${}(E,e)$ .

{}C^{r}=\bigoplus _{p+q=r}D^{p}\otimes E^{q}\,

mit

c_{r+1}\colon C^{r}\longrightarrow C^{r+1}

auf einem Summanden durch

D^{p}\otimes E^{q}\longrightarrow D^{p+1}\otimes E^{q}\oplus D^{p}\otimes E^{q+1},\,\alpha \otimes \beta \longmapsto d(\alpha )\otimes \beta \pm \alpha \otimes e(\beta )

Zu ${}\Gamma (U_{i_{0}\ldots i_{p}},{\mathbb {K} })$

Cech-Komplex und Tensorprodukt der Cech-Komplexe.

${}C^{0}$

{}{\begin{aligned}{\left(\bigoplus _{i}\Gamma (U_{i},{\mathbb {K} }\right)}\otimes {\left(\bigoplus _{j}\Gamma (V_{j},{\mathbb {K} }\right)}&=\bigoplus _{(i,j)}\Gamma (U_{i},{\mathbb {K} })\otimes \Gamma (V_{j},{\mathbb {K} })\\&=\bigoplus _{(i,j)}\Gamma (U_{i}\times V_{j},{\mathbb {K} }).\end{aligned}}

${}C^{1}$ ist ${}D^{0}\otimes E^{1}\oplus D^{1}\otimes E^{0}$

also

{}{\begin{aligned}&\,\,\,\,\,\,\,{\left(\bigoplus _{i\in I}\Gamma (U_{i},{\mathbb {K} })\otimes \bigoplus _{j_{0},j_{1}}\Gamma (V_{j_{0}}\cap V_{j_{1}},{\mathbb {K} })\right)}\oplus {\left(\bigoplus _{i_{0},i_{1}}\Gamma (U_{i_{1}}\cap U_{i_{1}},{\mathbb {K} })\otimes \bigoplus _{j}\Gamma (V_{j},{\mathbb {K} })\right)}\\&={\left(\bigoplus _{i,j_{0},j_{1}}\Gamma (U_{i},{\mathbb {K} })\otimes \Gamma (V_{j_{0}}\cap V_{j_{1}},{\mathbb {K} })\right)}\oplus {\left(\bigoplus _{i_{0},i_{1},j}\Gamma (U_{i_{1}}\cap U_{i_{1}},{\mathbb {K} })\otimes \Gamma (V_{j},{\mathbb {K} })\right)}\\&={\left(\bigoplus _{i,j_{0},j_{1}}\Gamma (U_{i}\times V_{j_{0}}\cap V_{j_{1}},{\mathbb {K} })\right)}\oplus {\left(\bigoplus _{i_{0},i_{1},j}\Gamma (U_{i_{1}}\cap U_{i_{1}}\times V_{j},{\mathbb {K} })\right)}.\,\end{aligned}}

Dies enthält die Durchschnitte von ${}U_{i}\times V_{j_{0}}$ und ${}U_{i}\times V_{j_{1}}$ und die Durchschnitte von ${}U_{i_{0}}\times V_{j}$ und ${}U_{i_{1}}\times V_{j}$ . Es fehlen aber die Zweierdurchschnitte von ${}U_{i_{0}}\times V_{j_{0}}$ ${}U_{i_{1}}\times V_{j_{1}}$ . Diese kann man als Dreierdurchschnitte

U_{i_{0}}\times V_{j_{0}}\cap U_{i_{0}}\times V_{j_{1}}\cap U_{i_{1}}\times V_{j_{1}}

erhalten.

Überdeckung ${}U_{i}$ von ${}X$ , zu

{}A\subseteq I\,

sei ${}U_{A}=\bigcap _{i\in A}U_{i}$ . Der entsprechende Schnitt sei ${}s_{A}$ . Die Kohomologieklassen ${}c\in H^{p}(X,{\mathbb {K} })$ und ${}d\in H^{q}(X,{\mathbb {K} })$ seien zur gleichen Überdeckung durch die Familie ${}s_{A}$ bzw. ${}t_{B}$ gegeben. Man muss ${}c\wedge d$ definieren, also einen Kozyklel festlegen. D.h. für

{}C\subseteq I\,

mit ${}p+q+1$ Elementen muss man ${}{\left(c\wedge d\right)}_{C}$ festlegen. Es sei ${}i_{0}\in C$ das minimale Element in der induzierten Ordnung auf ${}I$ . Dann setzt man

{}{\left(c\wedge d\right)}_{C}:=\sum _{A\subseteq C\setminus \{i_{0}\},\,\,{\#\left(A\right)}=q}\pm s_{A\cup \{i_{0}\}}\cdot t_{C\setminus A}\,.

Das Vorzeichen hängt davon ab, ob ${}A$ das zweitkleinste Element enthält oder nicht? Es wird also summiert über fast-disjunkte Zerlegungen von ${}C$ , wo das kleinste Element zu beiden Mengen gehört. Alternative Darstellung

\sum _{A\cup B=C,\,A\cap B=\{c_{0}\}}\pm s_{A}\cdot t_{B}.

Die Elemente muss man über ${}U_{C}$ auffassen, man braucht einen kommutativen Ring.

Beispiel

${}X=U_{1}\cup U_{2}\cup U_{3}$ .

 ${}c$  sei durch  ${}s_{12}$  auf  ${}U_{12}$  etc. gegeben, entsprechend  ${}d$ . Dann ist

{}(c\wedge d)_{123}=s_{12}t_{13}-s_{13}t_{12}\,.

Bei vertauschten Rollen gilt

{}{\begin{aligned}s_{21}t_{23}-s_{23}t_{21}&=s_{21}{\left(t_{13}-t_{12}\right)}-{\left(s_{13}-s_{12}\right)}t_{21}\\&=-s_{12}t_{13}+s_{13}t_{12},\end{aligned}}

bis auf das Vorzeichen.

Für einen Korand zu ${}a_{1},a_{2},a_{3}$ für ${}c$ , also ${}s_{12}=a_{1}-a_{2}$ , ${}s_{13}=a_{1}-a_{3}$ , ${}s_{23}=a_{2}-a_{3}$ , gilt (was von einem Zweierschnitt herkommt, ist gleich ${}0$ )