Topologischer Filter/Nichtzugehörigkeit/Ultrafilter/Aufgabe/Lösung

1. Sei

   ${}H={\left\{U\mid U\subseteq X{\text{ offen }},\,{\text{es gibt }}V\in F{\text{ mit }}V\cap X\setminus T\subseteq U\right\}}\,.$

   Zu ${}V\in F$ ist

   ${}V\cap {\left(X\setminus T\right)}\subseteq V\,$

   und daher ist

   ${}F\subseteq H\,$

   und insbesondere ist ${}X\in H$. Zu ${}U\in H$ gibt es ${}V\in F$ mit

   ${}V\cap {\left(X\setminus T\right)}\subseteq U\,,$

   und diese Bedingung wird auch von jedem ${}U'\supseteq U$ erfüllt, also ist auch ${}U'\in H$. Zu ${}U_{1},U_{2}\in H$ gibt es ${}V_{1},V_{2}\in F$ mit

   ${}V_{1}\cap {\left(X\setminus T\right)}\subseteq U_{1}\,$

   und

   ${}V_{2}\cap {\left(X\setminus T\right)}\subseteq U_{2}\,.$

   Daraus ergibt sich

   ${}V_{1}\cap V_{2}\cap {\left(X\setminus T\right)}\subseteq U_{1}\cap U_{2}\,$

   und wegen ${}V_{1}\cap V_{2}\in F$ ist ${}U_{1}\cap U_{2}\in H$. Somit ist ${}H$ ein Filter. Wegen ${}X\in F$ und

   ${}X\cap {\left(X\setminus T\right)}=X\setminus T\,$

   ist ${}X\setminus T\in H$. Angenommen ${}T\in H$. Dann gibt es ${}V\in F$ mit

   ${}V\cap {\left(X\setminus T\right)}\subseteq T\,$

   und dann ist insbesondere ${}V\subseteq T$, also ${}T\in V$ im Widerspruch zur Voraussetzung.

2. Zu dem in Teil (1) gegebenen Filter ${}H$ gibt es nach Fakt einen Ultrafilter ${}G$ mit ${}F\subseteq G$. Wegen ${}X\setminus T\in F$ ist ${}T\notin G$, da sonst auch

   ${}\emptyset ={\left(X\setminus T\right)}\cap T\in G\,$

   wäre.

Zur gelösten Aufgabe