Topologischer Raum/Deformationsretrakt/Fundamentalgruppe/Fakt/Beweis

Beweis

Die kanonischen Abbildungen

$\pi _{1}(Y,P)\longrightarrow \pi _{1}(X,P){\stackrel {\pi (H(-,1))}{\longrightarrow }}\pi _{1}(Y,P)$

zeigen, da die Hintereinanderschaltung die Identität ist, dass ${}\pi _{1}(Y,P)$ eine Untergruppe von ${}\pi _{1}(X,P)$ ist. Es sei ${}\gamma$ ein stetiger Weg in ${}X$ mit Aufpunkt ${}P$. Wir müssen zeigen, dass er homotop zu einem Weg in ${}Y$ ist. Wir betrachten dazu die zusammengesetzte Abbildung ${}\Psi$

$[0,1]\times [0,1]{\stackrel {\gamma \times \operatorname {Id} _{[0,1]}}{\longrightarrow }}X\times [0,1]{\stackrel {H}{\longrightarrow }}X$

und behaupten, dass dies eine Homotopie zwischen ${}\gamma$ und dem Weg ${}H(-,1)\circ \gamma$ ist, der ganz in ${}Y$ verläuft. Dies folgt aus

${}\Psi (s,0)=H(\gamma (s),0)=\gamma (s)\,$

für alle ${}s$,

${}\Psi (s,1)=H(\gamma (s),1)\in Y\,$

für alle ${}s$,

${}\Psi (0,t)=H(\gamma (0),t)=H(P,t)=P\,$

für alle ${}t$ und

${}\Psi (1,t)=H(\gamma (1),t)=H(P,t)=P\,$

für alle ${}t$.

Zur bewiesenen Aussage