Topologischer Raum/Garben/Überdeckung/Morphismus/Konstruktion/Fakt

Es sei ${}X=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ eine offene Überdeckung eines topologischen Raumes ${}X$ und es seien ${}{\mathcal {F}}$ und ${}{\mathcal {G}}$ Garben auf ${}X$. Zu jedem ${}i\in I$ sei ein Garbenmorphismus

$\alpha _{i}\colon {\mathcal {F}}{|}_{U_{i}}\longrightarrow {\mathcal {G}}{|}_{U_{i}}$

gegeben, der

${}\alpha _{i}{|}_{U_{i}\cap U_{j}}=\alpha _{j}{|}_{U_{i}\cap U_{j}}\,$

für alle ${}i,j$ erfüllt.

Dann gibt es einen eindeutigen Garbenmorphismus

$\alpha \colon {\mathcal {F}}\longrightarrow {\mathcal {G}}$

mit ${}\alpha {|}_{U_{i}}=\alpha _{i}$.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen